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Fiche de cours gratuite

Les intérêts composés

Comptabilité - Générale · 1 Bac Éco

1ère année baccalauréat - Sciences Économiques et Gestion

1Objectifs du cours

Ce cours vise à doter l'élève des compétences fondamentales en mathématiques financières nécessaires pour analyser des placements et des emprunts à moyen et long terme, et pour réussir les épreuves de l'Examen Régional.

Compétences visées

1

:

Distinguer intérêts simples et intérêts composés : comprendre la différence de base de calcul (capital initial fixe vs capital réactualisé), l'évolution du capital dans le temps et l'impact sur le rendement d'un placement.

2

:

Maîtriser la capitalisation : expliquer le mécanisme par lequel les intérêts générés à chaque période s'ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts (effet boule de neige).

3

:

Calculer la valeur acquise : appliquer la formule Cn=C0×(1+i)nC_n = C_0 \times (1 + i)^n pour déterminer la valeur d'un capital placé au bout de nn périodes au taux ii.

4

:

Calculer l'intérêt total produit : utiliser la relation I=Cn−C0I = C_n - C_0 pour mesurer le gain net d'un placement.

5

:

Actualiser un capital futur : déterminer la valeur actuelle C0=Cn×(1+i)−nC_0 = C_n \times (1 + i)^{-n} d'une somme disponible dans le futur.

6

:

Effectuer les calculs réciproques : rechercher le taux ii ou la durée nn à partir de données connues, en utilisant les logarithmes.

7

:

Appliquer l'équivalence de capitaux : déterminer un capital de remplacement, une échéance commune ou une échéance moyenne équivalente à plusieurs capitaux répartis dans le temps.

Intérêts simples

Les intérêts sont calculés uniquement sur le capital initial C0C_0, quelle que soit la durée du placement. Ils ne s'accumulent pas au capital entre deux périodes.

Intérêts composés

Les intérêts de chaque période sont incorporés au capital en fin de période et produisent à leur tour des intérêts lors des périodes suivantes. Le capital croît de façon exponentielle.

Capitalisation

Opération qui consiste à calculer la valeur acquise (future) d'un capital C0C_0 placé pendant nn périodes au taux ii, en tenant compte de l'accumulation des intérêts.

Actualisation

Opération inverse de la capitalisation : elle permet de déterminer la valeur actuelle C0C_0 d'un capital futur CnC_n, en « ramenant » ce capital à la date d'aujourd'hui.

Équivalence de capitaux

Deux capitaux (ou ensembles de capitaux) sont équivalents à un taux ii donné s'ils ont la même valeur à une même date de référence.

Critère

Intérêts simples

Intérêts composés

Base de calcul

Capital initial C0C_0 constant

Capital augmenté des intérêts précédents

Évolution du capital

Linéaire (progression arithmétique)

Exponentielle (progression géométrique)

Formule de la valeur acquise

Cn=C0×(1+n×i)C_n = C_0 \times (1 + n \times i)

Cn=C0×(1+i)nC_n = C_0 \times (1 + i)^n

Durée d'usage recommandée

Court terme (< 1 an)

Moyen et long terme (≥ 1 an)

Rendement comparé

Plus faible sur longue durée

Plus élevé grâce à l'effet de capitalisation

Comparaison entre intérêts simples et intérêts composés

À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de résoudre des problèmes financiers complets : évaluer un placement, comparer des offres bancaires, déterminer un taux de rendement ou une durée de placement, et regrouper plusieurs dettes en un capital unique équivalent. Ces compétences correspondent exactement aux types de questions posées lors de l'Épreuve Régionale de Comptabilité Générale en 1ère année Baccalauréat.

Outils mathématiques requis

Logarithme

:

Utilisé pour isoler l'exposant nn ou le taux ii dans Cn=C0×(1+i)nC_n = C_0 \times (1+i)^n. La propriété clé est : log⁡(an)=n×log⁡(a)\log(a^n) = n \times \log(a).

Puissances

:

Calcul de (1+i)n(1+i)^n et (1+i)−n(1+i)^{-n} à l'aide de la calculatrice scientifique autorisée à l'examen.

2Prérequis indispensables

Avant d'aborder les intérêts composés, certaines notions mathématiques et comptables de base doivent être parfaitement maîtrisées pour suivre le cours sans difficulté.

Taux d'intérêt (ii)

Rapport entre l'intérêt produit et le capital placé, exprimé en pourcentage. Pour les calculs, on le convertit toujours en décimal : i=taux%100i = \frac{\text{taux}\%}{100}. Ainsi, 6%→i=0,066\% \rightarrow i = 0{,}06.

Taux périodique

Taux correspondant à la période de capitalisation choisie. On distingue le taux annuel (iai_a), semestriel (is=ia2i_s = \frac{i_a}{2}), trimestriel (it=ia4i_t = \frac{i_a}{4}) et mensuel (im=ia12i_m = \frac{i_a}{12}).

Puissance (1+i)n(1+i)^n

Expression mathématique centrale des intérêts composés. nn peut être un entier ou un nombre décimal. On la calcule à la calculatrice scientifique via la touche yxy^x ou xyx^y.

Logarithme

Outil permettant d'isoler l'exposant nn dans une équation exponentielle. Le logarithme népérien est noté ln⁡\ln et le logarithme décimal log⁡\log. Propriété fondamentale : ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln(a^n) = n \times \ln(a).

Intérêt simple (IsI_s)

Intérêt calculé uniquement sur le capital initial C0C_0, sans capitalisation des intérêts acquis. Formule : Is=C0×i×nI_s = C_0 \times i \times n. À ne pas confondre avec les intérêts composés.

La maîtrise de la conversion des taux est le premier réflexe à acquérir. Tout taux exprimé en pourcentage doit être transformé en nombre décimal avant d'être inséré dans une formule financière.

Taux en %

Taux décimal ii

Période

6%6\%

0,060{,}06

Annuel

3%3\%

0,030{,}03

Semestriel

1,5%1{,}5\%

0,0150{,}015

Trimestriel

0,5%0{,}5\%

0,0050{,}005

Mensuel

Conversion des taux selon la période de capitalisation (exemple pour un taux annuel de 6 %)

Les puissances jouent un rôle central dans le calcul des intérêts composés. Il faut savoir évaluer (1+i)n(1+i)^n rapidement, que nn soit un entier positif, négatif ou décimal. Sur la calculatrice scientifique, la séquence est : saisir (1+i)(1+i), appuyer sur la touche yxy^x (ou xyx^y), saisir nn, puis valider.

Facteur de capitalisation — clé des calculs en intérêts composés. ii : taux périodique décimal ; nn :…

(1+i)n(1 + i)^n

Calcul de (1+i)n(1+i)^n à la calculatrice

Énoncé

Calculer (1+0,06)5(1 + 0{,}06)^5 et (1+0,06)−3(1 + 0{,}06)^{-3}.

Données
  • i=0,06i = 0{,}06
  • n=5n = 5 pour le premier calcul ; n=−3n = -3 pour le second
Méthode

Utiliser la touche yxy^x de la calculatrice scientifique.

Résolution
  1. (1,06)5(1{,}06)^5 : saisir 1,061{,}06, appuyer sur yxy^x, saisir 55, puis == → résultat : 1,33821{,}3382
  2. (1,06)−3(1{,}06)^{-3} : saisir 1,061{,}06, appuyer sur yxy^x, saisir 33, appuyer sur +/−+/- pour obtenir −3-3, puis == → résultat : 0,83960{,}8396
Interprétation

Le facteur (1,06)5=1,3382(1{,}06)^5 = 1{,}3382 signifie qu'un capital placé 5 ans à 6%6\% est multiplié par 1,33821{,}3382. Le facteur (1,06)−3=0,8396(1{,}06)^{-3} = 0{,}8396 est le facteur d'actualisation sur 3 ans.

Les logarithmes interviennent lorsqu'on cherche la durée nn d'un placement. La propriété ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln(a^n) = n \times \ln(a) permet de « descendre » l'exposant et de résoudre une équation du type (1+i)n=k(1+i)^n = k.

Formule de recherche de la durée nn — obtenue en appliquant ln⁡(an)=n×ln⁡(a)\ln(a^n) = n \times \ln(a) à l'équation…

n=ln⁡(k)ln⁡(1+i)n = \frac{\ln(k)}{\ln(1+i)}

Intérêt simple vs intérêt composé

Intérêt simple

:

L'intérêt est calculé chaque période uniquement sur le capital initial C0C_0 : Is=C0×i×nI_s = C_0 \times i \times n. Les intérêts ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts.

Intérêt composé

:

À chaque période, les intérêts acquis sont capitalisés (ajoutés au capital) et produisent à leur tour des intérêts. La valeur acquise suit une progression géométrique, pas linéaire.

Les opérations algébriques de base — isolation d'une variable, résolution d'une équation à une inconnue — sont indispensables pour manipuler les formules financières. Par exemple, si l'on connaît la valeur acquise VnV_n et la durée nn mais pas le capital initial C0C_0, on isolera C0C_0 en divisant les deux membres par (1+i)n(1+i)^n.

Tables financières et calculatrice

Table n°1 — Capitalisation

:

Donne la valeur de (1+i)n(1+i)^n pour différentes combinaisons de ii et de nn. On la lit en repérant la colonne du taux ii et la ligne de la durée nn.

Table n°2 — Actualisation

:

Donne la valeur de (1+i)−n(1+i)^{-n}, c'est-à-dire le facteur qui permet de ramener une somme future à sa valeur actuelle.

Calculatrice scientifique

:

Indispensable pour les valeurs non couvertes par les tables. Touches à maîtriser : yxy^x (puissance), ln⁡\ln (logarithme népérien), log⁡\log (logarithme décimal), +/−+/- (changement de signe pour les exposants négatifs).

Plan du chapitre

Sur cette page

  1. 1Objectifs du cours
  2. 2Prérequis indispensables

Dans la classe

  1. 3Principe des intérêts composés et capitalisation
  2. 4La valeur acquise : formule, composants et calcul de l'intérêt total
  3. 5L'actualisation et la valeur actuelle
  4. 6Calculs réciproques : recherche du taux et de la durée
  5. 7Équivalence de capitaux : capital de remplacement, échéance commune et échéance moyenne
  6. 8Application : exercices résolus pas à pas
  7. 9L'essentiel à retenir

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